【電験二種２次試験】水力発電【計算】

水力発電　出力の式

出力 P = 9.8QHη［kW］
　Q：流量［m³/s］
　H：有効落差［m］
　η：総合効率［－］

流量Q

流出係数k［－］の場合、
　Q = kQ₀［m³/s］
　　Q₀：総流量［m³/s］

年間降水量p［mm］および流域面積A［km²］の場合、
\[\mathrm{Q=\frac{p×10^{-3}}{365×24×60×60}×A×10^{6}［m^{3}/s］}\]

有効落差H

取水口標高H₁［m］、放水口標高H₂［m］の場合、
　H = H₁－H₂［m］

損失落差k［％］の場合、
\[\mathrm{H=\frac{k}{100}H_{0}［m］}\]
　　H₀：総落差［m］

総合効率η

発電機効率と水車効率の積で表される
　総合効率\(\mathrm{\eta=\eta_{G}\eta_{T}}\)［－］
　　\(\mathrm{\eta_{G}}\)：発電機総合効率［－］
　　\(\mathrm{\eta_{T}}\)：水車総合効率［－］

水力発電所の利用率α

\[\mathrm{利用率\alpha=\frac{実際の発電量［kWh］}{最大出力で運転した時の発電量［kWh］}}\]

水力発電　出力式の導出および変形

出力 P = 9.8QHη［kW］の導出方法

　公式として暗記している人も多いと思いますが、簡単に導出することができます。仕事の定義式から展開し導出していきます。

　仕事W［J］の定義式は以下で表されます。

\[\mathrm{W=Fx［J］}\]
　　F：力［N］
　　x：移動距離［m］
つまり、仕事とは、力F［N］と移動距離x［m］の積です。

ここで、F=maより、上式は以下のように変形できる。

\[\mathrm{W=Fx=(ma)x}\]
　　a：加速度［m/s₂］

出力P［W］は、仕事W［J］の微分である。このため、出力P［kW］は以下で表される。

\[\mathrm{P=\frac{d}{dt}(max)}\]

ここで、加速度aは水力発電所においては、重力加速度gで定数であるから、上式は以下のように計算できる。

\[\mathrm{P=\frac{d}{dt}(mgx)=mg\frac{d}{dt}x=mgv}\]

質量m［kg］、速度v［m/s］は水力発電所における、配管内を流れる水の事です。条件を当てはめて計算していきます。

　m = M × A × H［kg］
　　M：比重［kg/m³］
　　A：配管の断面積［m³］
　　H：有効落差［m］

\[\mathrm{v=\frac{Q}{A}［m/s］}\]
　　Q：流量［m³/s］

これらを代入すると、

\[\mathrm{P=mgv=(MAH)g(\frac{Q}{A})=MgQH［W］}\]

ここで、水の比重Mは約1,000［kg/m³］、重力加速度gは9.8［m/s²］。また、効率ηとすると、

\[\mathrm{P=MgQH=1000\times9.8\times QH\eta［W］}\]

\[\mathrm{P=9.8QH\eta［kw］}\]

これで導出完了です。初歩の物理知識で導出できますが、社会人経験が長いと忘れてしまいますね。

出力 P = gQHη　流量Qを断面積Aで表現

　ここでは、以下の式変形について説明します。

\[\mathrm{P=gQH\eta=\sqrt{2}A(gH)^{\frac{3}{2}}\eta［kw］}\]
　　A：断面積［m²］

流量Qは流速vおよび断面積Aを用いて、次式で表すことができます。

　Q=vA［m³/s］

流速vを導出して代入していきます。エネルギー保存則より、水路の入口と出口のエネルギーは同じです。つまり、

　水路入口の位置エネルギー = 水路出口の運動エネルギー

が成り立ちます。これを、数式で表すと以下になります。

\[\mathrm{mgH=\frac{1}{2}mv^{2}}\]

上式について、流速vを導出すると次式になります。

\[\mathrm{v=\sqrt{2gH}}\]

よって、出力Pを変形すると、以下となります。

\[\mathrm{P=gQH\eta=g(\sqrt{2gH}A)H\eta=\sqrt{2}A(gH)^{\frac{3}{2}}\eta［kw］}\]

エネルギー保存則を使って式を展開する事がポイントです。