【電験二種2次試験】水力発電【計算】

電験二種2次試験水力発電計算

水力発電 出力の式

出力 P = 9.8QHη[kW]
 Q:流量[m3/s]
 H:有効落差[m]
 η:総合効率[-]

流量Q

流出係数k[-]の場合、
 Q = kQ0[m3/s]
  Q0:総流量[m3/s]

年間降水量p[mm]および流域面積A[km2]の場合、
\[\mathrm{Q=\frac{p×10^{-3}}{365×24×60×60}×A×10^{6}[m^{3}/s]}\]

有効落差H

取水口標高H1[m]、放水口標高H2[m]の場合、
 H = H1-H2[m]

損失落差k[%]の場合、
\[\mathrm{H=\frac{k}{100}H_{0}[m]}\]
  H0:総落差[m]

総合効率η

発電機効率と水車効率の積で表される
 総合効率\(\mathrm{\eta=\eta_{G}\eta_{T}}\)[-]
  \(\mathrm{\eta_{G}}\):発電機総合効率[-]
  \(\mathrm{\eta_{T}}\):水車総合効率[-]

水力発電所の利用率α

\[\mathrm{利用率\alpha=\frac{実際の発電量[kWh]}{最大出力で運転した時の発電量[kWh]}}\]

水力発電 出力式の導出および変形

出力 P = 9.8QHη[kW]の導出方法

 公式として暗記している人も多いと思いますが、簡単に導出することができます。仕事の定義式から展開し導出していきます。

 仕事W[J]の定義式は以下で表されます。

\[\mathrm{W=Fx[J]}\]
  F:力[N]
  x:移動距離[m]
つまり、仕事とは、力F[N]と移動距離x[m]の積です。

ここで、F=maより、上式は以下のように変形できる。

\[\mathrm{W=Fx=(ma)x}\]
  a:加速度[m/s2

出力P[W]は、仕事W[J]の微分である。このため、出力P[kW]は以下で表される。

\[\mathrm{P=\frac{d}{dt}(max)}\]

ここで、加速度aは水力発電所においては、重力加速度gで定数であるから、上式は以下のように計算できる。

\[\mathrm{P=\frac{d}{dt}(mgx)=mg\frac{d}{dt}x=mgv}\]

質量m[kg]、速度v[m/s]は水力発電所における、配管内を流れる水の事です。条件を当てはめて計算していきます。

 m = M × A × H[kg]
  M:比重[kg/m3
  A:配管の断面積[m3
  H:有効落差[m]

\[\mathrm{v=\frac{Q}{A}[m/s]}\]
  Q:流量[m3/s]

これらを代入すると、

\[\mathrm{P=mgv=(MAH)g(\frac{Q}{A})=MgQH[W]}\]

ここで、水の比重Mは約1,000[kg/m3]、重力加速度gは9.8[m/s2]。また、効率ηとすると、

\[\mathrm{P=MgQH=1000\times9.8\times QH\eta[W]}\]

\[\mathrm{P=9.8QH\eta[kw]}\]

これで導出完了です。初歩の物理知識で導出できますが、社会人経験が長いと忘れてしまいますね。

出力 P = gQHη 流量Qを断面積Aで表現

 ここでは、以下の式変形について説明します。

\[\mathrm{P=gQH\eta=\sqrt{2}A(gH)^{\frac{3}{2}}\eta[kw]}\]
  A:断面積[m2

流量Qは流速vおよび断面積Aを用いて、次式で表すことができます。

 Q=vA[m3/s]

流速vを導出して代入していきます。エネルギー保存則より、水路の入口と出口のエネルギーは同じです。つまり、

 水路入口の位置エネルギー = 水路出口の運動エネルギー

が成り立ちます。これを、数式で表すと以下になります。

\[\mathrm{mgH=\frac{1}{2}mv^{2}}\]

上式について、流速vを導出すると次式になります。

\[\mathrm{v=\sqrt{2gH}}\]

よって、出力Pを変形すると、以下となります。

\[\mathrm{P=gQH\eta=g(\sqrt{2gH}A)H\eta=\sqrt{2}A(gH)^{\frac{3}{2}}\eta[kw]}\]

エネルギー保存則を使って式を展開する事がポイントです。

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